Disipación Controlada con Cúbits Superconductores

Por Joe Kitzman

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Autores: P.M. Harrington, M. Naghiloo, D. Tan, K.W. Murch

Afiliación Primaria del Primer Autor: Departamento de Física, Universidad de Washington, Saint Louis, Missouri 63130, USA

Original: Publicado en Physical Review A

Introducción

Los sistemas cuánticos son generalmente muy sensibles y al interaccionar con el entorno, sus propiedades cuánticas pueden perder coherencia. Esto esencialmente hace que un determinado sistema cuántico se disipe en un comportamiento puramente clásico. No obstante, en ciertos contextos es posible usar esta disipación de una manera controlada para incrementar el control sobre los sistemas cuánticos. Algunos ejemplos de esta disipación controlada incluyen el enfriamiento de átomos por láser, el enfriamiento de osciladores mecánicos a bajas frecuencias y el control de los circuitos cuánticos. En esta reciente publicación [1], los autores son capaces de demostrar la estabilización de los estados de superposición en un cúbit superconductor usando un canal de pérdidas de cristal fotónico hecho a medida. Considerando cómo el cristal fotónico induce pérdidas en el sistema, los autores proporcionan un enfoque con ecuación maestra que explica cómo la combinación de un impulso especializado aplicado al cúbit, además de la disipación dada por el cristal fotónico, permite un control preciso del estado del cúbit por tiempos mucho mayores que los tiempos de coherencia estándar de un cúbit.

Detalles Experimentales

Este experimento consiste en un cúbit superconductor cuyo momento dipolar se acopla al campo eléctrico dentro de una cavidad de guía de ondas tridimensional. En este experimento, el rol de la cavidad de guía de ondas es facilitar el control por microondas del cúbit así como leer el estado del cúbit. El cúbit superconductor consiste en dos uniones de Josephson en paralelo, formando un dispositivo interferométrico cuántico superconductor (a menudo conocido como “SQUID” por sus siglas en inglés: superconducting quantum interference device). Esto permite a los autores cambiar la frecuencia de resonancia del cúbit haciendo pasar un campo magnético externo a través de la espira del SQUID. En la salida de la cavidad de guía de ondas, los autores conectan un cristal fotónico al circuito. Este cristal fotónico está hecho de un cable coaxial usual que está mecánicamente deformado de una manera concreta para cambiar su impedancia. El resultado de la impedancia que varía con el espacio en el cable causa la apertura de una banda prohibida – llegando a energías fotónicas (o frecuencias) donde la densidad fotónica de los estados es cero (ver Fig. 1 para un esquema del montaje experimental). Cambiando la densidad fotónica de los estados en función de la energía, el decaimiento del cúbit también cambiará en función de la frecuencia.

Figura 1
Izquierda: Esquema del sistema experimental. El cúbit superconductor se monta en una cavidad de cobre que se usa para controlar y leer el estado del cúbit. Haciendo pasar corriente a través del cable superconductor enroscado alrededor de la cavidad se genera un campo magnético perpendicular al sustrato que contiene al cúbit, permitiendo a los autores sintonizar la frecuencia de resonancia del cúbit. El cristal fotónico se conecta al puerto de salida de la cavidad, cambiando la densidad de los estados sobre los que puede decaer el cúbit. Derecha: Medidas a temperatura ambiente de la reflexión del cristal fotónico. En la banda de corte (de 5.5 – 6.4 GHz) la mayor parte de la señal enviada al cristal fotónico se refleja, verificando que hay una baja densidad de estados a esas frecuencias. Por encima de 6.4 GHz, la banda fotónica prohibida se estrecha y los fotones se pueden transmitir a través del cristal fotónico.

Tasas de Decaimiento del Cúbit

Para medir la tasa de decaimiento del cúbit, los autores primero llevan el cúbit a su estado excitado aplicando un pulso de energía al sistema que es resonante con el cúbit. Luego, miden la probabilidad de que el cúbit permanezca en su estado excitado en función del tiempo después de haber aplicado el pulso. Ajustando la probabilidad medida a un decaimiento exponencial y extrayendo la constante de decaimiento, se puede determinar la tasa de decaimiento del cúbit. La frecuencia de resonancia del cúbit se ajusta luego cambiando el flujo magnético externo que circula por la espira del SQUID y midiendo la tasa de decaimiento del cúbit en función de la frecuencia del cúbit para investigar el impacto del cristal fotónico sobre la vida media del cúbit. La tasa de decaimiento total del cúbit se puede expresar como

$\gamma_1 = \gamma_d + \rho(\omega_q)(g/\Delta_q)^2 \kappa.$

En la Ec. 1, $\gamma_1$ es la tasa de decaimiento medida del cúbit, $\kappa/2\pi = 18~\textrm{MHz}$ es el ancho de banda de la cavidad de microondas, $g/(2\pi) = 200~\textrm{MHz}$ es la fuerza de acoplamiento entre el cúbit y la cavidad, $\Delta_q = \omega_c - \omega_q$ es la diferencia en frecuencia de resonancia entre el cúbit y la cavidad, $\rho(\omega_q)$ es la densidad de estados del cristal fotónico a la frecuencia del cúbit, y $\gamma_d$ representa el decaimiento del cúbit en canales de disipación aparte del cristal fotónico. Midiendo la tasa de decaimiento total del cúbit para varios valores de $\omega_q$ , ¡debería ser posible extraer información acerca de la densidad de estados del cristal fotónico! Ver Fig. 2 a continuación para la medida resultante.

Figura 2
Medida de las tasas de decaimiento del cúbit sobre un rango amplio de frecuencias. Dado que la pérdida del cúbit varía rápidamente con la frecuencia del cúbit, llevando el flujo de polarización al punto donde la derivada de la pérdida del cúbit es grande, las bandas laterales del triplete de Mollow pueden muestrear frecuencias tanto con muy altas como con muy bajas pérdidas. Midiendo las frecuencias generalizadas de Rabi a lo largo de los mismos valores de frecuencia del cúbit, los autores verifican la variable de acoplamiento del cúbit con el cristal fotónico.

Dinámica y Emisión de un Cúbit Controlado

Después de verificar que la densidad de estados en el cristal fotónico puede modificar la tasa de decaimiento del cúbit, los autores ahora consideran más cuidadosamente cómo emite el cúbit energía realmente. Específicamente, se considera un fuerte impulso aplicado con amplitud $\Omega$ que es desintonizado de la energía del cúbit una cantidad $\Delta = \omega_d - \omega_q$ , donde $\omega_d$ es la frecuencia del impulso y $\omega_q$ es la energía del cúbit. Si la amplitud del impulso es mucho mayor que la tasa de pérdida del cúbit, el cúbit emitirá energía a tres frecuencias diferentes $\omega_d$ y $\omega_d~\pm~\Omega_R$ , donde $\Omega_R = \sqrt{\Omega^2 + \Delta^2}$ se conoce como frecuencia de Rabi generalizada. Este espectro de emisión se llama triplete de Mollow [2]. Ver Fig. 3 para un esquema de emisión del triplete de Mollow.

Figura 3
Esquema que representa la emisión del sistema de dos niveles controlado. Bajo la presencia de un impulso fuerte, el cúbit emite radiación a frecuencias correspondientes a la frecuencia del impulso $\omega_d$ así como a frecuencias $\omega_d \pm \Omega_R$ . Debido al espectro de pérdidas modificado, el área de una banda lateral puede disminuir, indicando que el cúbit emitirá radiación a esta frecuencia en menor medida que la otra banda lateral. Arriba a la derecha: bajo la presencia del impulso, el eje de cuantización del cúbit también rota, lo cual cambia los estados del cúbit que se pueden preparar / estabilizar.

Figura 3
Esquema que representa la emisión del sistema de dos niveles controlado. Bajo la presencia de un impulso fuerte, el cúbit emite radiación a frecuencias correspondientes a la frecuencia del impulso $\omega_d$ así como a frecuencias $\omega_d \pm \Omega_R$ . Debido al espectro de pérdidas modificado, el área de una banda lateral puede disminuir, indicando que el cúbit emitirá radiación a esta frecuencia en menor medida que la otra banda lateral. Arriba a la derecha: bajo la presencia del impulso, el eje de cuantización del cúbit también rota, lo cual cambia los estados del cúbit que se pueden preparar / estabilizar.

Dado que los autores han observado que el cristal fotónico modifica la tasa de pérdida del cúbit en una escala de energía comparable a los valores experimentales accesibles de $\Omega_R$ , es posible que una de las bandas laterales del triplete de Mollow experimente una tasa de pérdidas grande mientras que la otra banda lateral experimenta una tasa baja.

Lo siguiente a considerar es cómo afecta la presencia de un impulso aplicado al espectro de energía del cúbit. En un sistema de referencia en rotación con la frecuencia del impulso, el hamiltoniano del cúbit viene dado por

$H_q = \frac{\Delta}{2}\sigma_z + \frac{\Omega}{2}\sigma_x,$

donde $\sigma_z$ y $\sigma_x$ son matrices de Pauli. Dado que este hamiltoniano no es diagonal, es conveniente rotar la base de manera que el hamiltoniano se pueda escribir de la forma

$\tilde{H}_q = \frac{\Omega_R}{2}\tilde{\sigma}_z,$

donde la matriz de Pauli Z rotada puede expresarse como $\tilde{\sigma}_z = \sin{2\theta}\sigma_x - \cos{2\theta}\sigma_z$ y el ángulo de rotación se define como $\tan{2\theta} = -\Omega/\Delta$ con $0<\theta<\pi/2$ . Dado que hemos escrito el hamiltoniano en una base rotada, debemos considerar también cómo rotan los nuevos autoestados del sistema con respecto a los autoestados originales, que llamaremos $|g\rangle$ y $|e\rangle$ para los estados fundamental y excitado, respectivamente.

$|\tilde{g}\rangle = \cos{\theta}|g\rangle - \sin{\theta}|e\rangle$

$|\tilde{e}\rangle = \sin{\theta}|g\rangle + \cos{\theta}|e\rangle$

Llegados a este punto, ¡probablemente sea conveniente considerar un ejemplo útil! En el caso de un impulso resonante, $\Delta = 0$ , que inmediatamente nos informa de que $\theta = 45^{\circ}$ , por lo que podemos reescribir los autoestados rotados del sistema como $|\tilde{g}\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|g\rangle - |e\rangle) \equiv |-x\rangle$ y $|\tilde{e}\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|g\rangle + |e\rangle) \equiv |+x\rangle$ , los cuales tienen la propiedad especial de que $\sigma_x|\pm x\rangle = \pm 1 |\pm x\rangle$ . Dado que el estado $|-x\rangle$ tiene una energía menor, emitirá energía correspondiente a la banda lateral de menor energía del triplete de Mollow y viceversa para el estado $|+x\rangle$ . Si la pérdida del cúbit es muy diferente para cualquiera de estos estados, ¡fomentará el decaimiento hacia los estados $|-x\rangle$ o $|+x\rangle$ ! Específicamente, si el cúbit está a una frecuencia de resonancia cercana a 6.4766 GHz (ver Fig. 2), el estado de mayor energía (correspondiente a $|+x\rangle$ en este ejemplo) tiene una tasa de pérdida menor, por lo que deberíamos esperar que mientras el impulso esté activo, ¡el cúbit preferentemente decaerá hacia este estado! ¡Esto significa que el valor esperado $\langle \sigma_x \rangle$ tenderá a +1 en este supuesto! En el caso de un espectro de pérdidas uniforme, no habría un decaimiento preferido para el cúbit y sería de esperar que todos los valores esperados decayeran a cero.

La Ecuación Maestra de Lindblad

En presencia del impulso combinado y la disipación sufrida por el cúbit, la dinámica de la matriz de densidad reducida que describe el cúbit puede ser expresada de acuerdo a la ecuación maestra de Lindblad [3]:

$\dot{\rho} = i[\rho,H] + \gamma_0 \cos{(\theta)}\sin{(\theta)}\mathcal{D}[\tilde{\sigma}_z]\rho + \gamma_{-} \sin{^4\left(\theta\right)} \mathcal{D}[\tilde{\sigma}_{+}\rho + \gamma_{+}\cos{^4\left(\theta\right)} \mathcal{D}[\tilde{\sigma}_{-}]\rho.$

Aquí, $\rho$ es la matriz de densidad reducida para el cúbit, el superoperador de disipación también se introduce como $\mathcal{D}[A]\rho = \left( 2 A \rho A^{\dagger} - A^{\dagger}A\rho - \rho A^{\dagger}A\right)/2$ . La tasa $\gamma_0$ representa un desfase del cúbit en la base rotada de $\theta$ , que se acopla al operador $\tilde{\sigma}_z$ y las transiciones entre autoestados en la base rotada son controlados por los operadores de “salto” $\tilde{\sigma}_{\pm}$ , que están relacionados con las tasas $\gamma_{\mp}$ . Similar al ejemplo anterior, si el cristal fotónico modifica la pérdida del cúbit tal que $\gamma_{\pm} \gg \gamma_{\mp}$ , el autoestado del sistema de referencia en rotación correspondiente se estabilizará.

Resultados experimentales

Para verificar que los autores pueden usar la combinación de impulsos y disipación para preparar y estabilizar estados de cúbits, implementan el siguiente protocolo de bath engineering. Primero, se lleva el flujo de polarización del cúbit a la frecuencia de resonancia de 6.4766 GHz (como en nuestro ejemplo). Después, se aplica un impulso coherente al sistema durante casi $16~\mu s$ (¡que es mucho más largo que el tiempo de coherencia del cúbit en ausencia del impulso!). Durante este tiempo, el cúbit debería decaer preferiblemente a un autoestado del sistema rotado si las bandas laterales del triplete de Mollow tienen pesos diferentes. Una vez se corta el impulso, se mide el valor esperado $\langle \sigma_x \rangle$ para varias combinaciones de parámetros del impulso. Los resultados se muestran a continuación también en la Fig. 4 como comparaciones con los resultados numéricos a la ecuación maestra, los autores no solo ven que los valores esperados del cúbit no decaen a 0, ¡sino que hay una concordancia fantástica entre la teoría y el experimento!

Figura 4
(a) Medida de $\langle \sigma_x \rangle$ mientras que los parámetros del impulso van cambiando. Para ciertos parámetros del impulso, el valor de $\langle \sigma_x \rangle$ es negativo. Así como van cambiando los parámetros del impulso, el sistema pasa por una región de “cero coherencia”, donde el protocolo de *bath engineering* ya no funciona antes de estabilizar $\langle \sigma_x \rangle$ a valores positivos . (b) Soluciones numéricas a la ecuación maestra bajo los mismos parámetros de impulso que (a). Los autores observan una excelente correspondencia entre los experimentos y las soluciones numéricas. (c) Comparación de las líneas de corte horizontales de (a,b). Los autores observan una concordancia entre los valores medidos (puntos) y los valores simulados (líneas) cuando se consideran todos los valores esperados para el estado del cúbit ( $\langle \sigma_{x,y,z} \rangle$ ).

Figura 4
(a) Medida de $\langle \sigma_x \rangle$ mientras que los parámetros del impulso van cambiando. Para ciertos parámetros del impulso, el valor de $\langle \sigma_x \rangle$ es negativo. Así como van cambiando los parámetros del impulso, el sistema pasa por una región de “cero coherencia”, donde el protocolo de *bath engineering* ya no funciona antes de estabilizar $\langle \sigma_x \rangle$ a valores positivos . (b) Soluciones numéricas a la ecuación maestra bajo los mismos parámetros de impulso que (a). Los autores observan una excelente correspondencia entre los experimentos y las soluciones numéricas. (c) Comparación de las líneas de corte horizontales de (a,b). Los autores observan una concordancia entre los valores medidos (puntos) y los valores simulados (líneas) cuando se consideran todos los valores esperados para el estado del cúbit ( $\langle \sigma_{x,y,z} \rangle$ ).

Conclusión

En conclusión, los autores son capaces de demostrar la fabricación de un cable coaxial con impedancia que varía en el espacio que actúa como un cristal fotónico y a cambio controlan el espectro de pérdidas de un cúbit superconductor. Los autores luego hacen uso de este espectro de emisión modificado en el contexto de la ecuación maestra para preparar y estabilizar estados no triviales del cúbit por tiempos mucho mayores que los tiempos de coherencia del cúbit.

Referencias

[1] P. M. Harrington, M. Naghiloo, D. Tan, and K. W. Murch, Bath engineering of a fluorescing artificial atom with a photonic crystal, Phys. Rev. A 99, 052126 (2019)

[2] B. R. Mollow, Power spectrum of light scattered by two-level systems, Phys. Rev. 188, 1969 (1969)

[3] G. Lindblad, On the generators of quantum dynamical semigroups, Communications in Mathematical Physics 48, 119 (1976).