Control cuántico del movimiento

Por Akash Dixit

Título: Preparación de estados cuánticos, tomografía y entrelazamiento de osciladores mecánicos

Autores: E. Alex Wollack, Agnetta Y. Cleland, Rachel G. Gruenke, Zhaoyou
Wang, Patricio Arrangoiz-Arriola, y Amir H. Safavi-Naeini

Institución: Departamento de Física Aplicada y Laboratorio de Ginzton, Universidad de Stanford 348 Via Pueblo Mall, Stanford, California 94305, USA

Original: Publicado en Nature [1], Acceso libre en arXiv

Introducción
El campo de las ciencias de la información cuántica contiene multitud de diferentes tecnologías, incluyendo átomos, espines y defectos en los centros de diamante. Este trabajo se centra en dos tecnologías emergentes: circuitos superconductores y osciladores mecánicos. Cada sistema tiene sus ventajas, pero no es obvio que ninguna sea la mejor plataforma para construir un ordenador cuántico, desarrollar sensores cuánticos o facilitar la comunicación cuántica. Para alcanzar estos objetivos es necesario desarrollar un sistema cuántico híbrido que pueda utilizar los puntos fuertes de diversas tecnologías cuánticas.

En este trabajo, los autores demuestran la posibilidad de acoplar cúbits superconductores a movimiento mecánico. Esto establece los cimientos para un sistema cuántico híbrido que pueda aprovechar lo mejor de los dos sistemas. El cúbit es personalizable y fácil de comunicarse con él, haciéndolo ideal para la inicialización y caracterización del estado. Los modos mecánicos se fabrican con escasa huella espacial y tienen tiempos de vida largos, haciendo posible escalarlos a sistemas más grandes y mantener la información cuántica durante largos períodos de tiempo. A continuación, describiré cómo los autores usan estos acoplamientos entre los dos sistemas tanto para preparar como para medir los estados de movimiento mecánico usando el cúbit. Primeramente, describo el sistema cuidadosamente diseñado que acopla un cúbit a dos osciladores mecánicos. Después, hablo de los dos modos de operación, donde el cúbit es usado tanto para preparar estados de movimiento mecánico como para medir el estado cuántico del modo mecánico. Finalmente, muestro cómo los autores usan el cúbit como un intermediario para preparar estados mecánicamente entrelazados entre los dos osciladores.

Mecanismo

El dispositivo usado en este trabajo consiste en dos osciladores mecánicos y un cúbit superconductor. Los osciladores mecánicos se fabrican en una lámina delgada de niobato de litio (LiNbO₃). Estos osciladores se forman provocando un defecto en una estructura periódica del material, llamado cristal fonónico. El defecto es un desajuste en la periodicidad de la estructura y confina el movimiento mecánico, impidiendo la radiación acústica y permitiendo períodos de integridad largos. Al igual que ocurre con la radiación electromagnética, el movimiento mecánico puede ser cuantizado. Los quantum del movimiento mecánico se llaman fonones y el oscilador mecánico puede ser caracterizado como un oscilador armónico con niveles de energía equiespaciados. El cúbit se hace fabricando un oscilador $LC$ con materiales superconductores. El elemento clave de este circuito es la unión de Josephson, que está hecha de óxido de aluminio intercalado entre capas de aluminio superconductor. La unión actúa como un inductor no lineal que modifica la distancia entre los niveles de energía del oscilador $LC$ . Los niveles de energía del oscilador $LC$ usual (que es un oscilador armónico) están equiespaciados, lo que significa que la energía de transición entre dos niveles cualesquiera es la misma. Sin embargo, con el inductor no lineal en el circuito, ya no hay niveles de energía equiespaciados, haciendo posible distinguir los dos niveles de menor energía del sistema, el fundamental ( $\left| g \right\rangle$ ) y el excitado ( $\left| e \right\rangle$ ). Los dos niveles forman un bit cuántico (cúbit). El cúbit está diseñado para que se pueda ajustar su frecuencia poniendo dos uniones de Josephson en paralelo. Aplicando un campo magnético mediante un cable que lleve corriente, se produce un flujo magnético a través de la espira que permite cambiar la frecuencia del cúbit.

El cúbit y los osciladores mecánicos se fabrican en chips separados que se colocan a una distancia $\sim \mu m$ . Para acoplar el cúbit con los osciladores mecánicos, los autores usan la piezoelectricidad de la lámina de niobato de litio. El movimiento mecánico de este material produce una acumulación de carga eléctrica sobre los paneles de aluminio situados en ambos chips, que están diseñados para ser el elemento capacitivo del cúbit. El cúbit capacitor se carga con el movimiento de los osciladores mecánicos, garantizando que los dos sistemas están conectados.

Inicializando un estado mecánico
Los autores diseñan el cúbit para que interaccione de dos maneras diferentes con los osciladores mecánicos. En el primer modo, el cúbit está sintonizado para entrar en resonancia con un oscilador mecánico en concreto ( $\omega_q = \omega_1, \omega_2$ ). Nótese que las frecuencias mecánicas de los dos osciladores son diferentes, así que el cúbit sólo puede estar en resonancia con una a la vez. Esto permite el intercambio directo de energía entre el cúbit y cada oscilador a una tasa relacionada con el acoplamiento capacitivo entre los dos, $g_1 = 2 \pi \times$ 9.5 MHz, $g_2 = 2 \pi \times$ 10.5 MHz. El hamiltoniano que describe la interacción entre el cúbit y el oscilador mecánico en resonancia es la interacción de Jaynes-Cummings:

$\mathcal{H}_{\mathrm{on}} = g(a^{\dagger} \sigma^{-} + a \sigma^{+})$
[Ecuación 1].

$a^{\dagger}, a$ y $\sigma^{+}, \sigma^{-}$ son los operadores creación y destrucción para el oscilador mecánico y el cúbit, respectivamente. Cuando están en resonancia, el cúbit y el oscilador mecánico intercambian sus respectivos estados en un tiempo de $\pi/g \sim$ 24-26 $ns$ dependiendo del oscilador en cuestión.

Figura 2: **Intercambio de estados entre cúbit y oscilador.** El cúbit (Q) se inicializa en el estado excitado. Una vez el cúbit se lleva a resonancia con el oscilador mecánico, los dos intercambian sus estados coherentemente. Esto significa que el estado del sistema oscila entre $\left| 0,e \right\rangle$ y $\left| 1,g \right\rangle$ , donde $\left| m,g \right\rangle$ representa el estado de la mecánica y del cúbit. Entre un intercambio completo, el cúbit y los osciladores mecánicos están entrelazados con función de estado $\left| 1,g \right\rangle + \left| 0,e \right\rangle$ .

Figura 2: **Intercambio de estados entre cúbit y oscilador.** El cúbit (Q) se inicializa en el estado excitado. Una vez el cúbit se lleva a resonancia con el oscilador mecánico, los dos intercambian sus estados coherentemente. Esto significa que el estado del sistema oscila entre $\left| 0,e \right\rangle$ y $\left| 1,g \right\rangle$ , donde $\left| m,g \right\rangle$ representa el estado de la mecánica y del cúbit. Entre un intercambio completo, el cúbit y los osciladores mecánicos están entrelazados con función de estado $\left| 1,g \right\rangle + \left| 0,e \right\rangle$ .

Este intercambio puede ser usado como un método de preparación de estados mecánicos. Los autores primero sintonizan el cúbit para que no esté en resonancia con ninguno de los osciladores mecánicos. Luego, con el modo mecánico vacío de quanta, el cúbit se inicializa con estados $\left| 0,g \right\rangle, \left| 0,e \right\rangle$ o $\left| 0,g \right\rangle + \left| 0,e \right\rangle$ . El estado $\left| m, q \right\rangle$ describe el número de fonones de un oscilador mecánico concreto, $m = 0, 1, 2$ …, y si el cúbit está en su estado fundamental o excitado $q = g, e$ . La frecuencia del cúbit se sintoniza para que esté en resonancia con alguno de los modos mecánicos durante el tiempo correspondiente a un intercambio completo. Cuando la operación de intercambio es aplicada al estado $\left| 0,g \right\rangle$ , el sistema permanece inalterado dado que ambos subsistemas están en su estado fundamental y no hay energía que intercambiar. Durante el intercambio, el estado $\left| 0,e \right\rangle$ se convierte en $\left| 1,g \right\rangle$ como se muestra en la Figura 1. Cuando el cúbit se inicializa en un estado de superposición, el estado es $\left| 0,g \right\rangle + \left| 0,e \right\rangle$ . La operación de intercambio actúa sobre ambas partes de esta superposición dando lugar al estado final $\left| 0,g \right\rangle + \left| 1,g \right\rangle$ . El oscilador mecánico está ahora en un estado de superposición, pero el estado del oscilador mecánico no está entrelazado con el estado del cúbit.

Midiendo un estado mecánico
En el segundo modo de operación, el cúbit no está en resonancia con ninguno de los osciladores, lo cual se conoce como interacción dispersiva. La tasa de interacción dispersiva entre el cúbit y el oscilador mecánico, $\chi$ , se determina ahora por el acoplamiento capacitivo directo, $g$ , la desintonización entre el cúbit y la mecánica, $\Delta$ , y otros parámetros del cúbit. En el límite en que la desintonización entre el cúbit y la mecánica es mayor que la tasa de interacción capacitiva ( $\Delta \gg g$ ), la interacción mostrada en la Ecuación 1 es aproximada por el hamiltoniano fuera de resonancia:

$\mathcal{H}_{\mathrm{off}} = \chi a^{\dagger} a \sigma_z$
[Ecuación 2].

La combinación $a^{\dagger}a$ es la versión en operadores del número de fonones, $m$ , en el oscilador mecánico. $\sigma_z$ es la versión en operadores del estado del cúbit, bien $\left| g \right\rangle$ o bien $\left| e \right\rangle$ .

Sin la interacción entre el cúbit y la mecánica, el hamiltoniano de sólo el cúbit quedaría $\mathcal{H}_{q} = \omega_q \sigma_z$ , donde $\omega_q$ es la frecuencia de transición del cúbit. Cuando añadimos la interacción fuera de resonancia, el hamiltoniano se puede escribir como $\mathcal{H}_{q} + \mathcal{H}_{\mathrm{off}} = (\omega_q - \chi a^{\dagger}a )\sigma_z$ . Comparando el hamiltoniano combinado con el de sólo el cúbit, vemos que el efecto de la interacción es modificar la frecuencia de transición del cúbit (representado por todo lo anterior a $\sigma_z$ ). Por lo que ahora la frecuencia de transición del cúbit depende del número de fonones en el oscilador mecánico ( $m = a^{\dagger}a$ ). Por cada fonón adicional en el oscilador mecánico, la frecuencia de transición del cúbit cambia $\chi$ .

Esta interacción es crucial para poder caracterizar el estado del oscilador mecánico. Dado que un distinto número de fonones imparte un cambio de frecuencia diferente en el cúbit, el estado mecánico está impreso en la frecuencia del cúbit. Para solventar la probabilidad de distinto número de fonones en los osciladores mecánicos, se realiza una medida interferométrica sobre los cúbits. El oscilador mecánico se prepara en un estado de Fock con 0 o 1 fonones o en una superposición de varios fonones 0, 1, 2… Luego, el cúbit se coloca en un estado de superposición $\left| g \right\rangle + \left| e \right\rangle$ y se deja precesar por un tiempo variable, $t$ . Durante este tiempo, el estado superpuesto acumula una fase de $\chi$ si hay un fonón, $2\chi$ para dos fonones y así sucesivamente. La fase acumulada refleja la probabilidad ( $A_n$ ) de que el oscilador mecánico contenga cero, uno, dos, etc. fonones. El estado del cúbit evoluciona a $\left| g \right\rangle + e^{i\phi} \left| e \right\rangle$ , donde la fase acumulada es $\phi = \sum_n A_n n \chi t$ . Los autores rotan el cúbit de vuelta a su base de medición y monitorizan la población final del estado excitado como función del tiempo de interacción, $t$ , y ajustan la trayectoria a la forma funcional

$S(t) = \sum_n A_n e^{-\kappa t/2} \cos [(2 n \chi t) + \phi_n]$
[Ecuación 3]

Esta función incluye las probabilidades del número de fonones, $A_n$ , así como la precesión dependiente de este número $n \chi$ . También incluye el desfase dependiente del número, $\phi_n$ y la constante de decaimiento de fonones, $\kappa$ . Esto captura la dinámica de la trayectoria del cúbit incluso cuando las probabilidades de los fonones van cambiando debido al decaimiento de la energía. La figura a continuación muestra una traza de interferometría y el ajuste que se usó para extraer la población de fonones en el oscilador mecánico. La traza contiene una combinación de varias oscilaciones de frecuencia, cada una de ellas correspondiente a un número de fonones distinto. El peso de una frecuencia particular en la combinación representa la probabilidad de que el correspondiente número de fonones esté presente en el estado mecánico que se vaya a medir.

Figura 3. **Caracterización del estado mecánico.** La interferometría de cúbits se realiza en presencia de fonones en el oscilador mecánico. La trayectoria resultante del estado del cúbit contiene información sobre la distribución de probabilidad del número de fonones. Una traza típica se muestra aquí y se ajusta a la forma funcional de la Ecuación 3 para determinar el índice de fonones del estado mecánico. Figura adaptada de [1].

Entrelazando dos osciladores mecánicos
Con la habilidad de controlar y medir el estado de cada oscilador mecánico, el siguiente paso es preparar un estado del sistema donde el movimiento de los dos osciladores esté entrelazado. Escribimos el estado del cúbit y los dos osciladores como $\left| m_1, q, m_2 \right\rangle$ , donde el oscilador mecánico contiene $m_1, m_2=0,1,2,..$ fonones y el cúbit puede estar tanto en el estado fundamental ( $g$ ) como en el excitado ( $e$ ). Primero, se prepara el cúbit en su estado excitado con $\left| 0,e,0 \right\rangle$ . Medio intercambio entre el cúbit y el primer oscilador mecánico los entrelaza, $\left| 1, g, 0 \right\rangle + \left| 0, e, 0 \right\rangle$ . Esto se consigue llevando el cúbit a resonancia con el oscilador mecánico sólo durante la mitad del tiempo requerido para llevar a cabo un intercambio completo, como se puede ver en la Figura 2. Finalmente, el estado del cúbit se intercambia por completo con el del segundo oscilador mecánico, resultando en el estado $\left| 1, g, 0 \right\rangle + \left| 0, g, 1 \right\rangle$ . Esto deja al cúbit en su estado fundamental con los dos osciladores mecánicos completamente entrelazados entre sí $(\left| 1,0 \right\rangle + \left| 0,1 \right\rangle) \bigotimes \left| g \right\rangle$ .

Perspectiva de futuro
Los autores construyen un dispositivo que acopla el movimiento mecánico a un cúbit superconductor. El cúbit es usado para preparar y medir los modos de un modo mecánico individual. Los autores presentan un protocolo que prepara dos modos mecánicos, ambos acoplados al mismo cúbit, en un estado entrelazado. Este trabajo demuestra los cimientos que se necesitan para construir un sistema cuántico híbrido combinando dos sistemas cuánticos dispares. Los autores emparejan el control preciso del cúbit superconductor con las largas vidas medias de los modos mecánicos para construir un dispositivo que aproveche los puntos fuertes de ambos sistemas. Este tipo de diseño permitirá futuros avances en la computación cuántica, la detección y la comunicación partiendo de muchas tecnologías diferentes.

Referencias

[1] Wollack, E.A., Cleland, A.Y., Gruenke, R.G. et al. Quantum state preparation and tomography of entangled mechanical resonators. Nature 604, 463–467 (2022).

Akash Dixit construye cúbits superconductores y los acopla a cavidades 3D para desarrollar novedosas arquitecturas cuánticas y buscar materia oscura.

Gracias a Joe Kitzman por sus grandes aportaciones y comentarios a la hora de editar este artículo.

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